Показать эквивалентность двух формулировок принципа ферма. Основные законы геометрической оптики, принцип Ферма, доказательство закона преломления на основании принципа Ферма

Век XVII был ознаменован бурным развитием в Европе специального раздела физики - оптики. Были открыты для света законы отражения и преломления, а принцип Ферма показал, почему они имеют соответствующий математический вид. Разберемся подробнее, что собой представляет этот принцип.

Явления преломления и отражения

Под отражением понимают явление, при котором свет, распространяясь в прозрачном для него веществе, встречает на своем пути препятствие и резко изменяет свою траекторию. Препятствием может быть любое: жидкое или твердое тело, прозрачное и непрозрачное.

Явление отражения было известно с глубокой древности. Согласно историческим свидетельствам, законы отражения уже были сформулированы еще до нашей эры. А в первом веке нашей эры египетский философ Герон Александрийский высказал идею о траектории света, которую впоследствии использовал француз Пьер Ферма при формулировке своего принципа.

Явление преломления заключается в изломе прямой линии, по которой движется свет, при пересечении им поверхности, разделяющей два прозрачных материала. Заметим, что в случае отражения луч движется в одном прозрачном материале или, как принято говорить, в одной среде.

Первая формулировка законов преломления приписывается персидскому математику X века, некоему Ибну Сахлю, который в своих работах опирался на труды Клавдия Птолемея (I-II века н. э.). На рубеже конца XVI - начала XVII веков голландский ученый Снелл, обобщив результаты многих экспериментов со светом, сформулировал в математическом виде 2-й закон преломления, который в настоящее время носит его фамилию. Снелл свою формулировку привел в терминах расстояний, а не углов, как это принято сейчас. Современный вид закону преломления придал уже Рене Декарт.

Законы распространения света в прозрачных средах

Перед тем как переходить к рассмотрению принципа Ферма, законы преломления и отражения света следует сформулировать. Для каждого из этих явлений принято выделять по два закона. Ниже они попарно объединены:

1. Траектория луча, когда он пересекает границу раздела двух сред, всегда лежит в одной плоскости с нормалью, проведенной к плоскости этой границы. Возможная траектория луча формируется в общем случае из трех частей: падающий луч, преломленный и отраженный.
2. Если угол между падающим лучом света и нормалью назвать θ 1 , аналогичный угол, но уже для отраженного луча, записать как θ 2 , а преломленный - θ 3 , тогда 2-й закон будет иметь вид:

В этих формулах n 1 и n 2 - это показатели преломления в прозрачных средах 1 и 2. Показатель преломления, согласно определению, вычисляется так:

Здесь v и c - скорости движения луча света в среде и в вакууме.

Формулировка принципа Ферма

Пьер Ферма был одним из известных математиков и юристов Франции в первой половине XVII века. Принцип, который носит его фамилию, он сформулировал в 1662 году, то есть спустя полвека после открытия Снеллом своего закона для преломления.

Кратко принцип Ферма может быть сформулирован так: свет при движении в абсолютно любых прозрачных средах выбирает такую траекторию, которую он пройдет за наименьшее время.

По сути, эта формулировка ничем не отличается от той, что сделал Герон Александрийский полторы тысячи лет ранее для явления отражения. Тем не менее француз сделал ее общей для всех явлений, связанных со светом, и показал, как из этого принципа могут быть получены законы преломления и отражения.

Вывод 1-го закона отражения

Пользуясь принципом Ферма, законы отражения получим математически. Для этого рассмотрим рисунок ниже.

Здесь показано, что луч выходит с точки S, которая лежит на оси y. Затем он отражается от плоскости xz в некоторой неизвестной точке M. После отражения луч движется к точке P, лежащей на плоскости xy. Выбранное положение точек S и P не влияет на общность дальнейших рассуждений, а лишь упрощает математические выкладки.

Итак, запишем координаты каждой точки:

Координаты положения точек S и P известны. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку M, которая будет соответствовать реальной траектории SMP, пройденной световым лучом. Также будем полагать, что рассматриваемое пространство является однородным, то есть скорость света в любой точке является постоянной величиной.

Согласно принципу Ферма, траекторию SMP свет пройдет за наименьшее время, если она будет наиболее короткой из всех возможных. Запишем ее длину:

SM = √(x 2 + y S 2 + z 2); MP = √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2);

SMP = √(x 2 + y S 2 + z 2) + √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2).

Чтобы вычислить минимальную длину SMP, необходимо найти частные производные по x и z (неизвестные координаты точки M) и приравнять к нулю полученные результаты.

Сначала найдем частную производную по z. Имеем:

∂(SMP)/∂z = z/√(x 2 + y S 2 + z 2) + z/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.

Это равенство имеет единственный корень, когда z = 0. Иными словами, точка M лежит на оси x, то есть в той же плоскости, что и точки P и S (плоскость xy). Откуда следует, что восстановленная нормаль к плоскости xz, в которой, по условию задачи, находится точка M, будет лежать вместе с SM и MP в одной плоскости (xy). Это и есть 1-й закон отражения.

Вывод 2-го закона отражения

Продолжим производить вычисления предыдущего пункта. Как было сказано, теперь необходимо найти частную производную по x. Имеем:

∂(SMP)/∂x = x/√(x 2 + y S 2 + z 2) + (x-x P)/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.

Последнее равенство запишем в виде:

x/SM + (x-x P)/MP = 0 =>

x/SM = (x P -x)/MP.

Полученные отношения в каждой части равенства - это синусы углов с вершиной в точках S и P. Если восстановить теперь нормаль к плоскости xz через точку M, то отмеченные углы будут соответствовать углам падения (между SM и нормалью) и отражения (между MP и нормалью).

Таким образом, следуя принципу Ферма, мы получили также 2-й закон отражения света.

Вывод закона преломления Снелла

Теперь покажем, как можно вывести из принципа Ферма закон преломления света. Для этого рассмотрим рисунок, похожий на предыдущий.

Для простоты будем рассматривать случай в плоскости xy. Выпишем координаты источника S и приемника P света, которые находятся в разных средах:

Найдем неизвестную координату точки M. Координата y=0 для нее точно известна, поскольку именно на границе сред (ось x) меняется скорость распространения света. Длины отрезков SM и MP равны:

SM = √(x-x S) 2 + y S 2);

MP = √(x P -x) 2 + y P 2).

Общее время, которое затратит свет на прохождение траектории SMP, будет равно:

Здесь v 1 , v 2 - скорости луча в соответствующих средах. Чтобы найти минимальное время движения, следует взять полную производную по переменной x и приравнять ее к нулю. Получаем:

dt/dx = (x-x S)/(√(x-x S) 2 + y S 2)*v 1) - (x P -x)/(√(x P -x) 2 + y P 2)*v 2) = 0 =>

(x-x S)/(SM*v 1) = (x P -x)/(MP*v 2).

Используя функции синусов угла падения θ 1 и преломления θ 3 , получаем:

sin(θ 1)/v 1 = sin(θ 3)/v 2 .

Чтобы привести полученное равенство к закону Снелла в удобном виде (через показатели преломления сред), необходимо помножить левую и правую части на скорость света c.

Таким образом, применение принципа Ферма позволяет легко вывести законы для основных явлений движения светового луча в прозрачных материалах.

Движение света в неоднородной среде

Рассмотренные выше случаи предполагают, что материал является гомогенным, и световой луч при движении в нем скорость свою сохраняет. В случае же негомогенных сред справедливо равенство:

Этот интеграл берется вдоль траектории следования света. Дифференциал dl - это отрезок пути, для которого среда сохраняет свою однородность. Величина n(x,y,z) - это локальный показатель преломления.

Отмеченный интеграл принято называть интегралом оптического пути. Принцип Ферма для оптического пути предполагает нахождение экстремумов для L.

Обобщенная формулировка рассматриваемого принципа

Принцип минимального времени для движения света является частным для более общей формулировки. В настоящее время обобщенный принцип Ферма формулируют так: свет выбирает во время движения такую траекторию, которая соответствует экстремумам оптического пути.

Экстремумами функции, согласно математическому определению, являются минимум, максимум и точка перегиба. Общий принцип Ферма удовлетворяет всем этим значениям, то есть траектория света не обязательно будет минимальной, она может быть и максимальной, и соответствующей точке перегиба оптического пути.

Бытовая аналогия с рассматриваемым принципом

Общий принцип Ферма, в свою очередь, является частным случаем так называемого принципа наименьшего действия. Здесь не будем приводить соответствующие определения и их математические формулировки, однако покажем, где можно применить предложенный французом принцип.

Используется он при решении простой, на первый взгляд, бытовой задачи: допустим, вблизи пляжа в море тонет человек. Как должен двигаться спасатель, находящийся на берегу, чтобы спасти утопающего? Конечно же, он должен прийти на помощь за наименьшее время. Поскольку скорость движения спасателя по пляжу больше, чем по воде, ему следует пробежать некоторое расстояние по берегу, а лишь затем прыгнуть в воду и поплыть. То есть задача сводится к применению принципа Ферма, где роль светового луча играет спасатель.

Отметим, что решение этой задачи не является простым, поскольку в его процессе появляются уравнения 4-й степени.

Таким образом, принцип Ферма - это инструмент получения основных законов распространения света. Однако он не является фундаментальным. Можно сказать, что он следует из принципа Гюйгенса об источниках вторичных сферических волн.

Кикоин А.К. Принцип Ферма //Квант. - 1984. - № 1. - С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятием «световой луч», составляют три закона - законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были сформулированы эти законы, вопрос о природе света еще не стоял, и за понятием «луч» не скрывалось ничего физически реального.

В 20-х годах XIX в. было выяснено, что свет - это волна. Луч света стал просто прямой, перпендикулярной волновой поверхности и указывающей направление распространения световой волны. На основе волновых представлений можно легко получить законы отражения и преломления света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX - начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляет собой поток элементарных световых частиц - фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторией движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был сформулирован удивительный принцип, из которого прямо следуют все основные законы распространения света. Принцип этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601-1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которому время прохождения наименьшее .

Из принципа Ферма (так его обычно называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямолинейно: прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения - наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света - тоже прямое следствие принципа Ферма.

Закон отражения света

Пусть ММ - плоское зеркало. В точке А находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отразившись от зеркала, приходит из точки А в точку В (рис. 1).

На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей - АА’В , АСВ , АВ’В . Таких «маршрутов» для света можно изобразить бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в В .

Из простых геометрических соображений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка А - зеркало - точка В было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей - АСВ .

Опустим из точки В перпендикуляр на зеркало ММ и продолжим его по другую сторону зеркала до точки В’ , отстоящую от зеркала на расстоянии |ОВ’ | = |ОВ |. Проведем линию СВ’ . Получившиеся треугольники СОВ и СОВ’ равны друг другу, так как они прямоугольные, сторона ОС у них общая и |ОВ | = |ОВ’ |. Следовательно, |CВ | = |CВ’ |, откуда следует, что длина пути луча АСВ равна сумме длин от А до точки С падения луча на зеркало и от этой точки до токи В . Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка С будет лежать на прямой, соединяющей точки А и В’ (рис. 3).

Тогда и сумма длин |АС | и |СВ |, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения светом этого пути.

Из рисунка 3 видно, что ∠ ВСО = ∠ В’СО (треугольник ВСВ’ равнобедренный, поэтому СО - биссектриса угла при вершине), а ∠ В’СО = ∠ АСМ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Принято, однако, отсчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы i и i’ , то равны и углы α и γ - Закон отражения обычно записывается в виде

\(~\alpha = \gamma\) .

Закон этот, как мы видим, - следствие того, что свет как бы «выбирает» путь, который проходится за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падающий, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то путь был бы длиннее и требовал бы большего времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке А (см. рис. 3) находится источник света, а в точке В - глаз, то глаз воспримет свет так, как будто бы источник света находится не в А , а в А’ , а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перенести из А в А’ , то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света

Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее - световых лучей). Здесь речь идет о переходе света из одной среды (среда I на рисунке 4) в другую (среда II ) через границу раздела между ними. Различие сред состоит в том, что в них различны скорости распространения света.

Мы рассмотрим случай, когда среда I - это вакуум, в котором скорость света равна с , а вторая среда - какое-то прозрачное вещество (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света υ меньше, чем с : с > υ .

Между точками А в среде I и В в среде II также мыслимы бесчисленное множество путей, но, согласно принципу Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что путь АА’В не есть такой путь, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее путь АВ’В ? Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наибольшая часть приходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот путь самый выгодный в смысле экономии времени? Может быть, выгоднее несколько удлинить путь в среде II с тем, чтобы сократить путь в среде I ? Словом, нужно найти, в какой точке свету (лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от А к В было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между А’ и В’ (включая, возможно, и самую точку В’ ).

Обозначим расстояние между А’ и В’ через d . Если нужная нам точка С пересечения границы раздела находится на расстоянии х от А’ , то от В’ она отстоит на расстоянии d - х (см. рис. 4). Путь АС , проходимый светом в среде I , равен \(~\sqrt{y^2_1 + x^2}\), а время прохождения этого пути

\(~t_1 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c}\) .

Путь СВ , проходимый светом в среде II , равен \(~\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}\), а время, нужное для прохождения этого пути,

\(~t_2 = \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) .

Общее время t определяется равенством

\(~t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) . (1)

Время t зависит только от х - координаты точки падения луча, так как величины y 1 , y 2 , с , υ и d - постоянные, то есть одинаковые при всех значениях х . Вот нам и нужно найти, при каком значении х время t будет наименьшим. Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х , при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения (1), равна нулю .

Это приводит нас к такому условию для х :

\(~\frac{x}{c\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \frac{d - x}{\upsilon \sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}\) . (2)

Из рисунка 4 видно, что

\(~\frac{x}{\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \sin \angle A"AC = \sin \alpha ; \frac{d - x}{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}} = \sin \angle CBB" = \sin \beta\) .

где α - угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела в точке падения (угол падения) и β - угол между этой нормалью и преломленным лучом (угол преломления). Условие (2) принимает поэтому вид:

\(~\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{\upsilon}\) или \(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{\upsilon}\) .

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение \(~\frac{c}{\upsilon}\) - величина постоянная, характерная для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой n , так что

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n\) .

В общем случае, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна υ 1 , в среду со скоростью света в ней υ 2 , закон преломления имеет вид

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = n_{21}\) ,

где n 21 - относительный показатель преломления сред 2 и 1 .

Принцип Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого принципа можно понять и точно рассчитать ход лучей и в призме, и в линзе и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.

Геометрическая оптика представляет собой раздел физики, который изучает распространение света в виде лучей, независимых друг от друга и подчиняющихся законам отражения и преломления, использую понятия и методы геометрии.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики при условии, что λ->0.

Геометрическая оптика базируется на 4х законах :

Законы прямолинейного преломления света – в однородной изотопной среде свет распространяется по прямой линии, т.е. пренебрегается явление дифракции.

Закон независимости световых лучей . Предполагается, что при пересечении луча не влияют друг на друга. Это справедливо для не очень больших интенсивностей.

Закон отражения света.

Закон преломления света.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма .

Свет распространяется по пути, не прохождение которого ему надо затратить минимальное время. Этот принцип может быть сформулирован с использованием понятия оптическая длина пути света.

Время tпрохождения света между двумя точками в неоднородной среде сnможно записать:

ГдеL– оптическая полная длина дуги(1) .

Из (1) видно, что tбудет минимально приL->min.

Поэтому можно сформулировать: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Пути света, у которых оптические длины равны, называются таутохромными .

Центрированная оптическая система. Кардинальные элементы цос: фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости, узловые точки.

Световым лучом считаем линию, по которой распространяется энергия световой волны. Совокупность лучей образуютсветовой пучок . Будем рассматривать гомоцентрические и параллельные пучки лучей.

Если световые лучи (или их продолжения) выходят из одной точки, то пучок гомоцентрический .

Оптическая система представляет собой совокупность оптических деталей, предназначенных для преобразования световых пучков путём преломления и отражения.

Если центры всех оптических поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью , то такая система называетсяцентрированной оптической системой .

Любая оптическая система производит преобразование – предмет изображения.

Если каждой точкой предмета соответствует изображение тоже в виде точки и сохраняется геометрическое подобие, то такая система называется идеальной .

Чтобы подчеркнуть тот факт, что точка предмета изображается системой в виде точки, говорят, что это изображение стигматическое (точечное) . Такая точка и её изображение называются сопряжёнными.

Пространство, где могут находиться точки предмета, называется пространством предмета .

Точки пространства, в которых может находиться точки изображения, называются пространством изображения .

Большинство реальных оптических систем можно считать идеальными только для параксиальных (приосевых) лучей, т.е. лучей, которые образуют малые углы с оптической осью и с перпендикулярами к оптическим поверхностям.

Параксиальными являются лучи, при которых выполняется sinα=tgα=α.

Свойства центрированных оптических систем можно полностью определить, если задать координальные моменты – передние и задние фокусы, главные и узловые точки, соответствующие плоскости.

Фокусы оптической системы и фокальные плоскости.

Если на оптическую систему пустить пучок параллельных лучей, причём параллельных главной оптической оси, то они сойдутся в точке, называемой задним фокусом оптической системы .

Задний фокус можно считать изображением сопряжённой бесконечной удалённой точки, находящейся на оптической оси. Отметим, что если фокус образован пересечением продолжений лучей, то задний фокус может находиться и перед системой.

Если параллельный пучок лучей направить со стороны изображения, то они сойдутся в точке – переедем фокусом оптической системы .

Передним фокусом можно считать и точку, сопряжённая в которой точка изображения находится на бесконечности ((на оптической оси). В плоскости, проведённая перпендикулярно оптической оси в заднем и передним фокусе, называется задней и передней фокальной плоскостью.

Под линейным увеличением Г понимают отношение размера изображения к размеру предмета.

Г=y"/y. Будем считать все отрезки или предметы, находящиеся выше оси положительными (+), а ниже – отрицательными (-). Существуют две сопряжённые плоскости, обозначенные HиH’, каждая точка одной из которых отображается на другую с линейным увеличением +1.

Точка пересечения главных плоскостей с оптической осью называется главной точкой .

Главные плоскости НЕ совпадают с оптическими элементами системы.

Узловыми точками переднейNи заднейN’ осей называются две сопряжённые точки на оси, обладающие свойствами, что лучи проходящие через них являются параллельными.

Если оптическая система находится в однородной среде, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками, т.е. N->HиN’->H’.

Задним фокусом расстояния оптической системы будем называть расстояние от задней точкиH’ до заднего фокусаF’ и обозначаемf’.

Передним фокусом расстояния будем называть передней точкойHдо заданного фокусаFи обозначаемf.

При анализе оптической системы используют правила знаков .

Положительное направление луча – слева направо.

Расстояние, отсчитываемое от соответствующей координаты точек к лучу считается >0, против луча - <0.

Из рисунка f’>0, аf<0.

Если перед оптической системой есть среда с n, а после неё среда сn’, то можно доказать, чтоf/f’=-n/n’, т.е. в однородной средеf=-f’.

Ф=n’/f’=n/f–оптическая сила системы . Если Ф>0, тосистема собирающая , если Ф<0 –рассеивающая .

xx"=ff’ –уравнение Ньютона для оптической системы .

1/f’=1/S’-1/S=> -1/S+1/S’=1/f’ –уравнение Гаусса (уравнение отрезка).

Тонкой линзой будем называть линзу, толщина которой во много раз меньше радиусов кривизныR 1 иR 2 её сферических поверхностей, т.е.d<

Фокусное расстояние линзы , гдеn– показатель преломления материала линзы по отношению к среде, где она находится;R 1 иR 2 – радиусы кривизны 1-ой и 2-ой поверхности. При подстановкеRнадо использовать правило знаков: если центр кривизны справа (слева) от сферической поверхности, тоR- “+” (R– “-“).

Принцип Ферма
Геометрическая оптика может быть построена, исходя из разных принципов. С одной стороны мы можем воспользоваться законами отражения и преломления, с другой – можно использовать принцип Ферма или принцип Гюйгенса. С законами отражения и преломления мы работали уже достаточно долго, а сейчас обсудим принцип Ферма.

Рассмотрим оптическую среду, в которой скорость света меняется от точки к точке , такая среда называется неоднородной.

Рис. 1. Скорость света зависит от точки

В неоднородной среде световые лучи не движутся по прямым, они искривляются.

П
ринцип Ферма

Рис. 2. Один из лучей, выходящих ииз точки , попадает в точку

Рис. 3. Все пути из в , среди них красным отмечен световой луч

Часто вместо времени прохождения оперируют с оптической длиной пути

(коэффициентом пропорциональности служит скорость света в вакууме ), принцип Ферма может быть сформулирован и следующим образом

А теперь покажем, что из принципа Ферма следуют все основные законы геометрической оптики.

П
ринцип Ферма
закон отражения

Этот выбор осуществляют с помощью следующего геометрического приема. Отразим точку в зеркале
. Основное геометрическое утверждение состоит в следующем: для любой точки на зеркале длины ломаных и
равны.

Рис. 5. Длины ломаных
и
равны, ломаная
– кратчайшая

Введем систему координат, в которой ось идет вдоль границы раздела сред, а ось проходит через точку . Будем считать, что
,
и
.

Рис. 6. Отрезок
имеет длину
, длина отрезка
равна

На самом деле имеется единственная возможность устранить это противоречие – предположить, что время прохождения всех этих лучей одно и то же и, кроме того, оно минимально по отношению к времени прохождения всех других путей, соединяющих эти две точки.

Этот принцип, являющийся следствием принципа Ферма, называется принципом таутохронности или принципом равновремённости . Приступим к конструированию нашего устройства. Самый примитивный эскиз может выглядеть следующим образом

Рис. 7. Первый набросок устройства, собирающего все лучи в одну точку

Рис. 7. Второй набросок – примитивная линза

Приведем еще один пример применения принципа таутохронности.

Но нас опять спасает принцип таутохронности. Мы должны потребовать, чтобы длины всех этих лучей были одинаковы и минимальны по отношению к длинам всех других путей, соприкасающихся с отражающей кривой и соединяющих эти две точки.

Точку, из которой выходят световые лучи, обозначим , точку, в которой они собираются после отражения, – . Точку на кривой обозначим . Принцип таутохронности приводит к тому, что длина двузвеного пути
должна быть постоянной величиной, не зависящей от выбора точки Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Полезным бывает и параметрическое уравнение эллипса

.
Добавим еще, что величины и ,
называются полуосями эллипса – большой и малой.

Принцип Ферма

При́нцип Ферма́ (принцип наименьшего времени Ферма ) в геометрической оптике - постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему (реже - максимизирующему) время движения (или, что то же самое, минимизирующему оптическую длину пути). В более точной формулировке : свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения; другими словами, любое малое изменение этого пути не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения.

Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма в 1662 году в качестве самого общего закона геометрической оптики. В разнообразных конкретных случаях из него следовали уже известные законы: прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред.

Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для случая исчезающей малой длины волны света.

Принцип Ферма является одним из экстремальных принципов в физике .

Примечания

Литература

• Краткий словарь физических терминов / Сост. А. И. Болсун, рец. М. А. Ельяшевич. - Мн. : Вышэйшая школа, 1979. - С. 364-365. - 416 с. - 30 000 экз.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Экстремальный принцип
• Ифкуиль

Смотреть что такое "Принцип Ферма" в других словарях:

принцип Ферма - — Тематики нефтегазовая промышленность EN Fermat s lawFermat s principle … Справочник технического переводчика

принцип Ферма - Ferma principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Fermat’s law; Fermat’s principle vok. Fermatsches Prinzip, n rus. принцип Ферма, m pranc. principe de Fermat, m … Fizikos terminų žodynas

Ферма принцип - Принцип Ферма на примере эллиптических поверхностях Объяснение закона Снелла при помощи принципа Ферма. Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма) в геометрической оптике постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в… … Википедия

Ферма Пьер - (Fermat) (1601 1665), французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма). * * * ФЕРМА Пьер ФЕРМА (Fermat) Пьер (1601 … Энциклопедический словарь

ФЕРМА ПРИНЦИП - ФЕРМА ПРИНЦИП: действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым др. геометрически возможным путем между теми же… … Энциклопедический словарь

ФЕРМА - ФЕРМА (Fermat) Пьер де (1601 65), французский математик. Вместе с Блезом ПАСКАЛЕМ сформулировал теорию вероятности и, доказав, что свет перемещается по самой короткой оптической траектории (принцип Ферма), стал основателем геометрической оптики … Научно-технический энциклопедический словарь

Ферма принцип{:} - действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым другим геометрически возможным путём между теми же точками.… … Энциклопедический словарь

ФЕРМА (Fermat) Пьер - (1601 65) французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма) … Большой Энциклопедический словарь